五边形数定理学习笔记

$\prod\limits_{i=1}^{\infty}(1-x^i)=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}(-1)^{k}x^{\frac{k(3k-1)}{2}}=1+\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}x^{\frac{k(3k\pm 1)}{2}}$

证明

这个证明太厉害了，拍案叫绝。

首先，不难发现，$x^i$ 的系数是：偶数个不同正整数的拆分数的方案-奇数个不同正整数的拆分数的方案。

所以要证明这个定理就得找到一个关于偶数拆分和奇数拆的双射。

现在用一个点阵表示一个拆分，考虑把拆分数从大到小排序，然后第 $i$ 行的点的数量表示数的大小。（这玩意又叫Ferrers图）

下面是拆分：$6,5,3,1$ 的例子。

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
0

考虑把最下面一行点的数量，也就是最小的数字设为 $s$ ，最右边 $45$ 度斜线的点的数量设为 $m$ 。

为了方便理解，对上面那个例子做了标记，$1$ 表示 $s$ ，$2$ 表示 $m$。

0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 2
0 0 0
1

如果 $s>m$ 就把 $m$ 个元素放到最下面一行，否则把 $s$ 个元素放到 $m$ 个元素右边。

例如上面那个例子就是：

1
2
3

0 0 0 0 0 2 1
0 0 0 0 2
0 0 0

可以发现，这大部分情况下是一个双射，但是有一些特殊情况：

$s=m+1$ ，同时拆分数的数字个数也就恰好 $m$ 个，这个时候如果拆出来就会有相同的两行：
1
2
0 0 0 0
0 0 0
这个时候数字总数为：$\frac{m(3m+1)}{2}$ ，系数为 $(-1)^m$ 。
$s=m$ ，同时拆分数的数字个数也就恰好 $m$ 个：
1
2
0 0 0
0 0
这个时候数字总数为：$\frac{m(3m-1)}{2}$ ，系数为 $(-1)^m$ 。

综上，结论得证，证毕。

这个证明真的是太优美了。

参考资料：https://blog.csdn.net/visit_world/article/details/52734860