PAM 入门

前后端插入

题目链接：https://vjudge.net/problem/HDU-5421

注意到回文后缀也是回文前缀，所以大体上没有变化。

只是要维护最长回文前缀和后缀，当最长回文前/后缀等于原串时，记得更新另外一个。

时间复杂度：$O(n)$ 。

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#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 5;
int len[N], fail[N], go[N][26], llast, rlast, pam_cnt;
int dep[N];
LL ans;

char s[N * 2];
int lenl, lenr, n;
void clgo(int x){memset(go[x], 0, sizeof(go[x]));}
void init(){
    fail[0] = pam_cnt = 1;
    len[1] = -1;
    llast = rlast = 0;
    ans = 0;
    clgo(0);
    clgo(1);
}
int getLfail(int p){
    while(lenl + len[p] + 1 > lenr || s[lenl + len[p] + 1] != s[lenl]) p = fail[p];
    return p;
}
int getRfail(int p){
    while(lenr - len[p] - 1 < lenl || s[lenr - len[p] - 1] != s[lenr]) p = fail[p];
    return p;
}
void extend(int type){
    int p, c, *last;
    if(type == 0) p = getLfail(llast), c = s[lenl] - 'a', last = &llast;
    else p = getRfail(rlast), c = s[lenr] - 'a', last = &rlast;
    if(!go[p][c]){
        int q = ++pam_cnt, now = p;
        clgo(q);
        len[q] = len[p] + 2;
        if(type == 0) p = getLfail(fail[p]);
        else p = getRfail(fail[p]);
        fail[q] =  go[p][c];
        go[now][c] = q;
        dep[q] = dep[fail[q]] + 1;
        if(lenr - lenl + 1 == len[q]) llast = rlast = q;
        else *last = q;
    }
    else *last = go[p][c];
    ans += dep[*last];
}

int main(){
    while(cin >> n){
        init();
        lenl = n + 1;
        lenr = n;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            int type;
            cin >> type;
            if(type <= 2){
                string x; cin >> x;
                if(type == 1) s[--lenl] = x[0], extend(0);
                else s[++lenr] = x[0], extend(1);
            }
            else if(type == 3) cout << pam_cnt - 1 << "\n";
            else cout << ans << "\n";
        }
    }
    return 0;
}

今天突然意识到一个很严重的问题，双端插入回文串的时间复杂度为啥对呢？原因是最长回文前后缀相等的那个特判，如果不加分析，会破坏均摊分析，所以现在来分析一下双端插入回文串的时间复杂度：

不妨认为插入到后面，插入后左边的最长回文前缀为 $L$ ，右边为 $R$ ，显然 $L$ 是 $R$ 的最长回文真前缀，否则与插入前 $L$ 是最长回文前缀矛盾，所以在回文树上，$L$ 和 $R$ 的深度差恰好为 $1$ ，所以这个操作只会让势能增加 $1$ ，不会破坏均摊分析。

证毕。

去均摊化

可以用于解决后端插入/删除 、 Trie 上 PAM 、可持久化 PAM 的问题。

详情请见 KMP 和 PAM 的可持久化。

在此不再赘述。

前后端插入/删除

PS ：同样可以用同样的方法可持久化。